Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．

（1）直接写出OC=___________；

（2）如图1，当CP与⊙A相切时，求PO的长；

（3）如图2，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问当PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4 （3）PO为2或2+2

【解析】

（1）根据已知条件证明△AOC是等边三角形，由此即可求解；（2）根据切线的性质可得∠ACP=90°，在直角三角形APC中，即可得∠APC= 30°；有已知A点的坐标可得AC的长，即可求得PA的长，再由PO=PA-OA得出OP的值即可；（3）分OC=OQ和CQ=OQ两种情况求PO得值即可.

（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

∴△AOC是等边三角形，

∴OC=OA=4

（2）∵CP与⊙A相切，

∴∠ACP=90°，

∴∠APC=90°﹣∠OAC=30°；

又∵A（4，0），

∴AC=AO=4，

∴PA=2AC=8，

∴PO=PA﹣OA=8﹣4=4．

（3）①如图，过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1；

∵OA是半径，

∴，

∴OC=OQ1，

∴△OCQ1是等腰三角形；

又∵△AOC是等边三角形，

∴P1O=OA=2；

②如图，过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2，

∵A是圆心，

∴DQ2是OC的垂直平分线，

∴CQ2=OQ2，

∴△OCQ2是等腰三角形；

过点Q2作Q2E⊥x轴于E，

在Rt△AQ2E中，

∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q2E=AQ2=2，AE=2，

∴点Q2的坐标（4+，﹣2）；

在Rt△COP1中，

∵P1O=2，∠AOC=60°，

∴，

∴C点坐标（2，）；

设直线CQ2的关系式为y=kx+b，则

，

解得，

∴y=﹣x+2+2；

当y=0时，x=2+2，

∴P2O=2+2，

即：PO为2或2+2时，△OCQ是等腰三角形．