Question

【题目】两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1、G2的“密距”．例如，如图，A(﹣2，3)，B(1，3)，C(1，0)，则点A与射线OC之间的“密距”为，点B与射线OC之间的“密距”为3．如果直线y＝x﹣1和双曲线y＝之间的“密距”为，则k值为_____．

Answer 1

【答案】-9

【解析】

由题意设双曲线上的D到直线的距离最近，过D作直线l和直线y＝x﹣1的平行线，结合条件可求得l的解析式，联立l与双曲线解析式，则该方程组只有一组解，可求得k的值．

根据“密距”的定义可知双曲线图象在二、四象限，且离第四象限最近，

设双曲线上点D到直线y＝x﹣1距离最近，如图，设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，过D作直线y＝x﹣1的平行线，交y轴于点G，过D作直线y＝x﹣1的垂线，垂足为E，过E作EH⊥DG，垂足为H，

则由题意可知DF＝EH＝，

又∠OEF＝45°，

∴∠EGH＝45°，

∴EH＝HG＝，

∴EG＝＝5，

又OE＝1，

∴OG＝6，

∴直线DG的解析式为y＝x﹣6，

联立直线DG和双曲线解析式可得，消去y整理可得x2﹣6x﹣k＝0，

∵直线DG与双曲线只有一个交点，

∴方程x2﹣6x﹣k＝0有两个相等的实数根，

∴△＝0，即(﹣6)2+4k＝0，解得k＝﹣9，

故答案为：﹣9．