【题目】如图,在中,,的垂直平分线分别与,及的延长线相交于点,,.是的外接圆,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求证:;
(3)在(2)的条件下,当时,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)BD与⊙O相切,如图1,连接OB证得∠DBO=90°,即可得到BD与⊙O相切;
(2)由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°,于是得到∠C=∠BFE,从而证得△ABC≌△EBF;
(3)如图2,连接CF,由等腰直角三角形的性质得到CF=BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF,求得BF=+1,再利用相似三角形的性质证明DEEF=BEEC即可解决问题.
(1)如图1,连接OB,
∵OB=OF,
∴∠OBF=∠OFB.
∵∠ABC=90°,AD=CD,
∴BD=CD,
∴∠C=∠DBC.
∵DF⊥AC,,
∴∠ADF=90,
∴∠C+∠A=∠BFE+∠A=90,
∵∠C=∠BFE,
∴∠DBC=∠OBF,
∵∠CBO+∠OBF=90°,
∴∠DBC+∠CBO=90°,
∴∠DBO=90°,
∴BD是⊙O的切线;
(2)由(1)得:∠C=∠BFE,
在△ABC与△EBF中,
,
∴△ABC≌△EBF(AAS);
(3)如图2,连接CF,
∵△ABC≌△EBF,∠CBF=90°,
∴BC=BF,
∴,
∵DF垂直平分AC,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵∠CED=∠BEF,∠CDE=∠EBF,
∴△CED∽△FEB,
∴,
∴.
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【题目】二次函数y=x2﹣6x+m满足以下条件:当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当8<x<9时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为( )
A.27B.9C.﹣7D.﹣16
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,直线l:y=分别交x轴、y轴于点A和点A1,过点A1作A1B1⊥l,交x轴于点B1,过点B1作B1A2⊥x轴,交直线l于点A2;过点A2作A2B2⊥l,交x轴于点B2,过点B2作B2A3⊥x轴,交直线l于点A3;依此规律...若图中阴影△A1OB1的面积为S1,阴影△A2B1B2的面积S2,阴影△A3B2B3的面积S3...,则Sn=__________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(1,),B(2,0),C点在x轴上运动,过点O作直线AC的垂线,垂足为D.当点C在x轴上运动时,点D也随之运动.则线段BD长的最大值为______________.
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【题目】新冠肺炎疫情期间,某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂,乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元,已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.
(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元?
(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶,且总费用为1400元,求购买了多少瓶乙品牌消毒剂?
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【题目】如图,半圆O的直径AB=6cm,点M在线段AB上,且BM=1cm,点P是上的动点,过点A作AN⊥直线PM,垂足为点N.
小东根据学习函数的经验,对线段AN,MN,PM的长度之间的关系进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)对于点P在上的不同位置,画图、测量,得到了线段AN,MN,PM的长度的几组值,如表:
位置1 | 位置2 | 位置3 | 位置4 | 位置5 | 位置6 | 位置7 | |
AN/cm | 0.00 | 3.53 | 4.58 | 5.00 | 4.58 | 4.00 | 0.00 |
MN/cm | 5.00 | 3.53 | 2.00 | 0.00 | 2.00 | 3.00 | 5.00 |
PM/cm | 1.00 | 1.23 | 1.57 | 2.24 | 3.18 | 3.74 | 5.00 |
在AN,MN,PM的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 和 的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当AN=MN时,PM的长度约为 cm.
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