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【题目】如图,在中,的垂直平分线分别与的延长线相交于点的外接圆,连接

1)求证:的切线;

2)若,求证:

3)在(2)的条件下,当时,求的值.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3

【解析】

(1)BD与⊙O相切,如图1,连接OB证得∠DBO=90°,即可得到BD与⊙O相切;
(2)由垂直的定义可得∠EBF=ADF=90°,于是得到∠C=BFE,从而证得△ABC≌△EBF
(3)如图2,连接CF,由等腰直角三角形的性质得到CF=BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF,求得BF=+1,再利用相似三角形的性质证明DEEF=BEEC即可解决问题.

(1)如图1,连接OB

OB=OF

∴∠OBF=OFB

∵∠ABC=90°AD=CD

BD=CD

∴∠C=DBC

DFAC

∴∠ADF=90

∴∠C+A=BFE+A=90

∵∠C=BFE

∴∠DBC=OBF

∵∠CBO+OBF=90°

∴∠DBC+CBO=90°

∴∠DBO=90°

BD是⊙O的切线;

(2)(1)得:∠C=BFE

在△ABC与△EBF中,

∴△ABC≌△EBF(AAS)

(3)如图2,连接CF

∵△ABC≌△EBF,∠CBF=90°

BC=BF

DF垂直平分AC

∵∠CED=BEF,∠CDE=EBF

∴△CED∽△FEB

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位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

位置7

AN/cm

0.00

3.53

4.58

5.00

4.58

4.00

0.00

MN/cm

5.00

3.53

2.00

0.00

2.00

3.00

5.00

PM/cm

1.00

1.23

1.57

2.24

3.18

3.74

5.00

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