Question

10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=6，CD=3，∠ADC=α．
（1）试写出α的正弦、余弦、正切这三个函数值；
（2）若∠B与∠ADC互余，求BD及AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=6，CD=3，∠ADC=α，可以求得AD的长，从而可以求得α的正弦、余弦、正切这三个函数值；
（2）根据第一问中求得的α的正弦、余弦、正切这三个函数值，∠B与∠ADC互余，可以求得AB、BC的长，从而可以求得BD的长．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=6，CD=3，∠ADC=α，
∴$AD=\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
∴$sinα=\frac{AC}{AD}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$cosα=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$tanα=\frac{AC}{CD}=\frac{6}{3}=2$；
（2）∵∠B与∠ADC互余，AC=6，∠ADC=α，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得AB=$6\sqrt{5}$，
∴$BC=\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{（6\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=12，
∴BD=BC-CD=12-3=9，
即BD=9，AB=6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．