Question

【题目】已知：抛物线：与抛物线关于y轴对称， 抛物线与x轴分别交于点A（-3， 0）， B（m， 0）， 顶点为M．

（1）求b和m的值；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在x轴， y轴上分别有点P（t， 0）， Q（0， -2t）， 其中t＞0， 当线段PQ与抛物线有且只有一个公共点时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) m=-1；(2) y=2x2-8x+6；(3) 当1≤t＜3或t=时，PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点.

【解析】（1）把A（-3，0）代入y=2x2+bx+6，即可求得b的值，从而求得解析式，令y=0，j解方程即可求得m的值；

（2）根据C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2，求得顶点M（-2，-2），即可求得点M关于y轴的对称点N（2，-2），由于a的值不变，根据顶点得出C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6；

（3）根据P、Q的坐标求得直线PQ的解析式，然后分三种情况讨论求得．

（1）∵抛物线y=2x2+bx+6过点A（-3，0），

∴0=18-3b+6，

∴b=8，

∴C1：y=2x2+8x+6，

令y=0，则2x2+8x+6=0，

解得x1=-3，x2=-1

∴m=-1；

（2）∵C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2，

∴M（-2，-2），

∴点M关于y轴的对称点N（2，-2），

∴C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6，

（3）由题意，点A（-3，0）与D，点B（-1，0）与C关于y轴对称，

∴D（3，0），C（1，0），

∵P（t，0），Q（0，-2t），

∴PQ：y=2x-2t，

当PQ过点C时，即P与C重合时，t=1，

当PQ过点D时，即P与D重合时，t=3，

当直线PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点时，即方程2x2-8x+6=2x-2t中△=0，

方程整理得x2-5x+3+t=0，△=25-4（3+t）=0，

解得t=．

综上，由图得，当1≤t＜3或t=时，PQ与抛物线C2有且仅有一个公共点．