Question

8．对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$=1，则方程ax²+bx+c=0一定有一根是x=1；
②若c=a³，b=2a²，则方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根；
③若a＜0，b＜0，c＞0，则方程cx²+bx+a=0必有实数根；
④若ab-bc=0，且$\frac{a}{c}$＜-1，则方程cx²+bx+a=0的两实数一定互为相反数．
⑤若方程ax²+bx+c=0有两个实数根，则方程cx²+bx+a=0一定有两个实数根．
其中正确的结论是②③④．

Answer 1

分析 ①本题根据一元二次方程的根的定义即可判断；
②只要证明△=0即可；
③只要验证△的值大于或等于0，就可以；
④两实数一定互为相反数，即两根的和是0，依据一元二次方程根与系数的关系即可作出判断；
⑤若方程ax²+bx+c=O有两个实数根，但c可能等于0，当c=0时，方程cx²+bx+a=0会变为一元一次方程，此时只有一个实数根．

解答 解：①若$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$=1，两边同时乘以c得到a+b=c，在ax²+bx+c=0中令x=1，就得到a+b+c=2c，即x=1不一定能使方程的左右两边相等，故说法错误；
②若c=a³，b=2a²，则方程根的判别式△=b²-4ac=4a⁴-4ac=4a⁴-4a⁴=0，所以方程有两个相等的实数根，故说法正确；
③方程根的判别式△=b²-4ac，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴△=b²-4ac＞0一定成立，因而方程cx²+bx+a=0必有实数根，故说法正确；
④ab-bc=0即b（a-c）=0，又∵$\frac{a}{c}$＜-1，则a-c≠0，∴b=0，根据韦达定理：两根的和是-$\frac{b}{a}$=0，即两实数一定互为相反数，故说法正确；
⑤若方程ax²+bx+c=O有两个实数根，但c可能等于0，当c=0时，方程cx²+bx+a=0会变为一元一次方程，此时只有一个实数根，故说法错误．
所以正确的答案为②③④．
故答案为②③④．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．