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    【题目】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和两点，记一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，连接

    （1）求与的值；

    （2）求证：

    【答案】（1），，b=1；（2）见解析．

    【解析】

    （1）先将点代入反比例函数的解析式可得的值，从而可求出点P的坐标，再利用待定系数法可求出与b的值；

    （2）先根据（1）可得一次函数的解析式，由此可得出点A、B的坐标，从而可得OA、OB的长，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用两点之间的距离公式可得OP、OQ的长，从而可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证．

    （1）将代入反比例函数得，解得

    则反比例函数的解析式为

    将代入反比例函数得，解得

    将，代入一次函数得

    解得

    综上，，，；

    （2）由（1）可知，一次函数解析式为

    当时，

    当时，

    又，

    在和中，

    ．

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    【题目】如图1，抛物线：与直线l：交于x轴上的一点A，和另一点

    求抛物线的解析式；

    点P是抛物线上的一个动点点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点于点M，轴交AB于点N，求MN的最大值；

    如图2，将抛物线绕顶点旋转后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第一象限的抛物线上，且抛持线与抛物线交于点D，过点D作轴交抛物线于点F，过点E作轴交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．

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    【题目】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°<α<90°），直线BD与CE交于点F．

    （1）如图1，当α=45°时，求证：CF=EF；

    （2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，

    ① ∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；

    ② 结论“CF=EF”，是否仍然成立？请说明理由．

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    【题目】“垃圾分类就是新时尚”．树立正确的垃圾分类观念，促进青少年养成良好的文明习惯，对于增强公共意识，提升文明素质具有重要意义．为了调査学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

    a．甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如下：

    甲校学生样本成绩频数分布表（表1）

    成绩m（分）

    频数

    频率

    0.10

    4

    0.20

    7

    0.35

    2

    合计

    20

    1.0

    b．甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如下表所示：（表2）

    平均分

    学校

    中位数

    众数

    方差

    甲

    76.7

    77

    89

    150.2

    乙

    78.1

    80

    135.3

    其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：

    54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91

    请根据所给信息，解答下列问题：

    （1）表1中___________；表2中的众数_________；

    （2）乙校学生样本成绩扇形统计图（图1）中，这一组成绩所在扇形的圆心角度数是_________度；

    （3）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是________校的学生（填“甲”或“乙”），理由是________________________；

    （4）若乙校1000名学生都参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请估计乙校成绩优秀的学生约为________人．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y＝x+b与双曲线y＝﹣相交于点P（x1，y1）、Q（x2，y2），与直线AB相交于点R（x3，y3）．若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是（　　）

    A.b＞4B.b＞4或b＜﹣4

    C.﹣＜b＜﹣4或b＞4D.4＜b＜或b＜﹣4

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．

    （1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　 　；

    （2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；

    （3）若“美好点”P恰好在抛物线y＝x2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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    【题目】某年级共有 150 名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取 30 名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行了整理，下面给出了部分信息．

    a．实心球成绩的频数分布如表所示：

    b．实心球成绩在 7.0≤x＜7.4 这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3

    c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：

    根据以上信息，回答下列问题：

    （1）①表中 m 的值为 ；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 ；

    （2）若实心球成绩达到 7.2 米及以上时，成绩记为优秀．

    ①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；

    ②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的 8 名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：

    其中有 3 名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这 8 名女生中恰好有4 人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生 E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你是否同意体育委员的说法？ （填“是”或“否”）．

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    【题目】今年的新冠疫情爆发，使很多农作物积压没法正常销售。为解决农民的困难，我市某食品加工公司主动分两次采购了一批竹笋， 第一次花费40万元，第二次花费60万元。已知第一次采购时每百千克竹笋的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每百千克竹笋的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．

    （1）试问去年每百千克竹笋的平均价格是多少元；

    （2）该公司可将竹笋加工成笋干或罐头（湿笋），若单独加工成笋干，每天可加工8百千克竹笋，每百千克竹笋获利1000元； 若单独加工成罐头，每天可加工12百千克竹笋，每百千克竹笋获利600元，由于市场需要，所有采购的竹笋必需在30天内加工完毕，且加工笋干的竹笋数量不少于加工罐头的竹笋数量的一半，为获得最大利润，应将多少百千克竹笋加工成笋干？最大利润为多少．

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