[题目]已知在Rt△ABC中.∠ABC=90°.AB=BC.将△ABC绕点A逆时针方向旋转.得到△ADE.旋转角为α(0°<α<90°).直线BD与CE交于点F．(1)如图1.当α=45°时.求证:CF=EF,(2)如图2.在旋转过程中.当α为任意锐角时.① ∠CFB的度数是否变化?若不变.请求出它的度数,② 结论“CF=EF .是否仍然成立?请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°<α<90°），直线BD与CE交于点F．

（1）如图1，当α=45°时，求证：CF=EF；

（2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，

① ∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；

② 结论“CF=EF”，是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①不变，45°；②仍然成立，理由见解析

【解析】

（1）首先证明∠ACE=∠CDF，推出CF=DF ，再证明∠CED=∠EDF，推出CF=EF即可解决问题；

（2））①由△ABD与△ACE均为顶角为α的等腰三角形，所以∠ABD=∠ACE．由∠ABD+∠AOB+∠CAB=∠ACE+∠COF+∠CFB=180°可得∠CFB=∠CAB=45°；

②作EG∥CB交BF延长线于点G．可推出∠EDG=∠CBF．由 EG∥CB，可得∠G=∠CBF=∠EDG，可证明△FEG≌△FCB，即可的答案．

解：（1）当α=45°时，

由旋转可知：AB=AD，AC=AE,∠CAB=∠CAE=45°,∠ADE=∠ABC=90°

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=67.5°，

∴∠CDF=∠ADB=67.5°，

∵AC=AE，

∠AEC=∠ACE=67.5°．

∴∠ACE=∠CDF=67.5°，

∴CF=DF．

在Rt△CDE中，∠CED=∠EDF=90°-67.5°=22.5°，

∴EF=DF．

∴CF=EF

（2）①∠CFB的度数不变，∠CFB=45°．

∵△ABD与△ACE均为顶角为α的等腰三角形，

所以底角相等，

即∠ABD=∠ACE．

设AC与BF的交点为O，则∠AOB=∠COF．

∵∠ABD+∠AOB+∠CAB=∠ACE+∠COF+∠CFB=180°，

∴∠CFB=∠CAB=45°．

② 结论“CF=EF”，仍然成立．证明如下：

如图，作EG∥CB交BF延长线于点G．

∵∠ABD=∠ADB，

又∵∠EDG+∠ADB=∠CBF+∠ABD=90°，

∴∠EDG=∠CBF．

∵ EG∥CB，

∴∠G=∠CBF=∠EDG，

∴EG=ED．又ED=BC，

∴EG=BC．

∴△FEG≌△FCB．

∴EF=CF

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