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【题目】如图1,抛物线与直线l交于x轴上的一点A,和另一点

求抛物线的解析式;

P是抛物线上的一个动点PAB两点之间,但不包括AB两点于点M轴交AB于点N,求MN的最大值;

如图2,将抛物线绕顶点旋转后,再作适当平移得到抛物线,已知抛物线的顶点E在第一象限的抛物线上,且抛持线与抛物线交于点D,过点D轴交抛物线于点F,过点E轴交抛物线于点G,是否存在这样的抛物线,使得四边形DFEG为菱形?若存在,请求E点的横坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3点的横坐标为时,四边形DFEG为菱形

【解析】

求直线lx轴交点A坐标、B坐标,用待定系数法求抛物线的解析式.

延长PNx轴于点H,设点P横坐标为m,由轴可得点NH横坐标也为m,即能用m表示PNNHAH的长.由及对顶角可得发现在中,MNPN比值即为,故先在中求的值,再代入,即得到MNm的函数关系式,配方即求得MN最大值.

设点,所以可设抛物线顶点式为令两抛物线解析式列得关于x的方程,解得两抛物线的另一交点D即为抛物线的顶点,故DG,且求得DF平行且等于GE,即四边形DFEG首先一定是平行四边形.由DFEG为菱形可得,故此时span>为等边三角形.利用特殊三角函数值作为等量关系列方程,即求得e的值.

解:直线lx轴于点A

,解得:

在直线l上,

抛物线经过点AB

解得:

抛物线的解析式为

如图1,延长PNx轴于点H

轴,

中,

于点M

中,

的最大值为

存在满足条件的抛物线,使得四边形DFEG为菱形,

如图2,连接DE,过点E于点Q

抛物线顶点为

抛物线顶点式为

解得:

两抛物线另一交点为抛物线顶点,

轴,轴,

四边形DFEG是平行四边形,

DFEG为菱形,则

由抛物线对称性可得:

是等边三角形,

解得:舍去

点的横坐标为时,四边形DFEG为菱形.

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