Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且.直线与抛物线交于两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为．

（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标．

（2）连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系．

（3）连接，当为何值时？

（4）在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），点的坐标为（2）线段与线段平行且相等（3）或1（4）存在；点的坐标为（0，3）或（，2）

【解析】

（1）直线y=x+1与抛物线交于A点，可得点A和点E坐标，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），即可求解；

（2）CQ==AE，直线AQ和AE的倾斜角均为45°，即可求解；

（3）根据题意将△APD的面积和△DAB的面积表示出来，令其相等，即可解出m的值；

（4）分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三种情况，分别求解即可．

解：（1）直线与抛物线交于点，则点、点.

∵，

∴点的坐标为，

故抛物线的表达式为，

将点的坐标代入，得，解得，

故抛物线的表达式为，

函数的对称轴为，故点的坐标为.

（2）CQ=AE，且CQ∥AE，

理由是：，

，

∴CQ=AE，

直线CQ表达式中的k==1，与直线AE表达式中k相等，故AE∥CQ，
故线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系是平行且相等；

（3）联立直线与抛物线的表达式，并解得或2.故点.

如图1，过点作轴的平行线，交于点，

设点，则点.

解得或1.

（4）存在，理由：

设点，点，，而点，

①当时，如图2，

过点作轴的平行线，分别交过点、点与轴的平行线于点、，

，，，

，，

在△PGQ和△HMP中，

，

，

，，

即：，，

解得m=2或n=3，

当n=3时，

解得：或2（舍去），

故点P；

②当时，如图3，

，则点、关于抛物线对称轴对称，即垂直于抛物线的对称轴，

而对称轴与轴垂直，故轴，则，

可得：△MQP和△NQH都是等腰直角三角形，

MQ=MP，

∵MQ=1-m，MP=4-n，

∴n=3+m，代入，

解得：或1（舍去），

故点P；

③当时，

如图4所示，点在下方，与题意不符，故舍去．

如图5，P在y轴右侧，同理可得△PHK≌△HQJ，

可得QJ= HK，

∵QJ=t-1，HK=t+1-n，

∴t-1=t+1-n，

∴n=2，

∴，

解得：m=（舍去）或，

∴点P（，2）

综上，点的坐标为：或（，2）