Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连接DM并延长交x轴于点C．

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）设点D的坐标为(－2，4)，试求经过D、O、C三点的抛物线的解析式．

（3）若坐标平面内的点P，使得以点P和三点D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=x2-x；（3）P1（-，4），P2（，4），P3（，-4）

【解析】

(1)连接OM，根据DO∥MB即可证得△AOD≌△MOD，从而得出∠OMD=∠OAD，因为DA⊥OA，即可得OM⊥CD；

(2) 设MC=x，可证得△OMC∽△DAC，利用相似三角形的性质得出OC=2x-2，利用勾股定理即可列出方程即可求解；

(3)要使以点P和三点D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，则分三种情况讨论：①当DP∥OC，DC为对角线时，②当PD∥OC，DO为对角线时，③当DC∥OP，OC为对角线时，根据每种情况求解即可.

（1） 直线DC与⊙O相切．证明如下：

如图，连接OM，则OM=OB，

∴∠OMB=∠OBM．

∵DO∥MB，

∴∠AOD=∠OBM， ∠MOD=∠OMB，

∴∠AOD=∠MOD．

又∵OA=OM，OD=OD，

∴△AOD≌△MOD，

∴∠OMD=∠OAD．

而DA⊥OA，

∴∠OAD=90°，

∴∠OMD=90°，即OM⊥CD，

∴直线DC与⊙O相切．

（2）设MC=x．

∵∠OMC=∠DAC=90°，∠OCM=∠DCA,

∴△OMC∽△DAC，

∴=．

∵OM=OA=2，DA=4，AC=OA+OC=2+OC，

∴=，

∴OC=2x-2．

在Rt△OMC中，

∵OM2+MC2=OC2，

∴22+x2=(2x-2)2，

解得x1=，x2=0(舍去)，

∴OC=2×-2=，

∴C（，0）．

因为抛物线经过坐标原点O，所以c=0，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将（-2，4），（，0）代入，得

解之，得．

∴y=x2-x．

（3）①当DP∥OC，DC为对角线时

∵D (－2，4)，C（，0），

∴AO=OB=2，OC=

∴P1（，4）

②当PD∥OC，DO为对角线时

∵DP2=OC=

∴P2（-，4）

③当DC∥OP，OC为对角线时

同理可得P3（，-4）．

故P点坐标为：P1（，4），P2（-，4），P3（，-4）