Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以B、F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若菱形ABEF的周长为8，，求∠C的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠C=60°．

【解析】

（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB＝∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，得到BE＝AB＝AF，由此即可证明；

（2）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB＝2，AG＝AE＝，再根据三角函数解答即可．

解：（1）在△AEB和△AEF中，，

∴△AEB≌△AEF（SSS），

∴∠EAB＝∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，

∴BE＝AB＝AF．

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝BE，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）如图，连结BF，交AE于G．

∵菱形ABEF的周长为8，

∴AB＝×8＝2

∵AE⊥BF，

∴GA＝AE＝，

在Rt△AGB中，cos∠BAE＝＝，

∴∠BAG＝30°，

∴∠BAF＝2∠BAG＝60°，

∴在ABCD中，∠C＝∠BAF＝60°．