Question

10．已知关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-3=0．
（1）若此方程有两个实数根，求实数k取值范围；
（2）如果此方程的两个实数根为x₁，x₂，且满足$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4（k+1）²-4（k²-3）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3，再把$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$通分得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，所以$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}-3}$=-$\frac{2}{3}$，然后解此方程，再利用（1）中k的取值范围确定k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=4（k+1）²-4（k²-3）≥0，
解得k≥-2；
（2）根据题意得x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2（k+1）}{{k}^{2}-3}$=-$\frac{2}{3}$，
整理得k²+3k=0，解得k₁=0，k₂=-3，
而k≥-2，
∴k=0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．