Question

試求滿足方程x²-2xy+126y²=2009的所有整數對（x，y）．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：将其看作关于x的一元二次方程，其判別式△=4y²-4×（126y²-2009）=500（4²-y²）+36的值应为一完全平方数据此进行推理．

解答：解：设整数对（x，y）满足方程x²-2xy+126y²=2009，
将其看作关于x的一元二次方程，其判別式△=4y²-4×（126y²-2009）=500（4²-y²）+36的值应为一完全平方数；
若y²＞4²，则△＜0；
若y²＜4²，则y²可取0，1²，2²，3²，相应的△值分別为8036、7536、6036和3536，它们皆不为平方数；
因此，仅当y²=4²时，△=500（4²-y²）+36=6²为完全平方数．
若y=4，方程（1）化为x²-8x+7=0，解得，x=1或x=7；
若y=-4，方程（1）化为 x²+8x+7=0，解得x=-1或x=-7．
综上可知，满足原方程的全部整数对为：（x，y）=（1，4），（7，4），（-1，-4），（-7，-4）．

点评：本题考查了非一次不定方程组，要将一个变量看做“不变量”，转化为一元二次方程问题进行解答．