Question

2．如图，半圆的直径AB=4，P是AB上一动点，C、D在半圆上，$\widehat{BC}$、$\widehat{BD}$的度数分别是75°和15°，则PC+PD的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要求PC+PD的最小值，应先确定点P的位置．作点D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P，则P即是所求作的点，且PC+PD=CE．根据作法知弧CE的度数是90°，即∠COE=90°，作OF⊥CE于F；在Rt△OCF中，∠OCF=45°，OC=2，即可求出CF和CE的长，也就求出了PC+PD的最小值．

解答 解：如图，

设点D关于AB的对称点为E，连接CE交AB于P，则此时PC+PD的值最小，且PC+PD=PC+PE=CE．连接OC、OE；
∵，$\widehat{BC}$、$\widehat{BD}$的度数分别是75°和15°，
∴弧CD的度数为60°；
∴弧CBE的度数为90°，即∠COE=90°；
过O作OF⊥CE于F，则∠COF=45°；
Rt△OCF中，OC=2，∠COF=45°；
∴CF=$\sqrt{2}$；
∴CE=2CF=2$\sqrt{2}$，即PC+PD的最小值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查利用轴对称作最短路线，首先正确找到点P的位置，然后根据弧的度数发现特殊三角形，根据垂径定理以及勾股定理进行计算．