Question

已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且AP=2，AF⊥AP，垂足是点A，若在射线AF上找一点M，使以点A，M，D为顶点的三角形与△ABP相似，则AM为

 

；

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,正方形的性质

专题：分类讨论

分析：根据同角的余角相等求出∠BAP=∠DAF，然后分AM和AB是对应边，AM和AP是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠PAD=90°，
∵AF⊥AP，
∴∠DAF+∠PAD=90°，
∴∠BAP=∠DAF，
AM和AB是对应边时，△AMD∽△ABP，
∴

AM

AB

=

AD

AP

，
即

AM

5

=

5

2

，
解得AM=

25

2

；
AM和AP是对应边时，△AMD∽△APB，
∴

AM

AP

=

AD

AB

，
即

AM

2

=

5

5

，
解得AM=2，
综上所述，AM为2或

25

2

．
故答案为：2或

25

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论．