【题目】如图,直线PC交⊙O于A,C两点,AB是⊙O的直径,AD平分∠PAB交⊙O于点D,过D作DE垂直PA,垂足为E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=1,AC=4,求直径AB的长.
【答案】(1)见解析;(2)6.
【解析】分析:
(1)如下图,连接OD,由已知条件易得∠DAE=∠DAO,∠DAO=∠ADO,∠DAE+∠ADE=90°,由此可得∠ADO+∠ADE=90°=∠ODE,从而可得DE是⊙O的切线;
(2)如下图,过点O作OF⊥AC于点F,则易得AF=AC=2,四边形OFED是矩形,从而可得OD=EF=AE+AF=1+2=3,由此可得AB=2OD=6.
详解:
(1)如下图,连接OD,
∵AD平分∠PAB,
∴∠PAD=∠OAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠PAD=∠ODA,
∵DE⊥PA,
∴∠DEA=∠EAD+∠EDA=90°,
∴∠ODA+∠EDA=90°,
∴DE是⊙O的切线
(2)作OF⊥AC,
∴AF=CF=2,∠OFE=90°,
又∵∠DEA=∠ODE=90°,
∴四边形OFED为矩形,
∴OD=EF=AE+AF=3,
∴AB=2OD=6.
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【题目】某校为了更好的开展“学校特色体育教育”,从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生,组成了一个容量为60的样本,进行各项体育项目的测试,了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据,得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图:某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩 | 划记 | 频数 | 百分比 |
优秀 | 正正正 | a | 30% |
良好 | 正正正正正正 | 30 | b |
合格 | 正 | 9 | 15% |
不合格 | 3 | 5% | |
合计 | 60 | 60 | 100% |
(说明:40﹣﹣﹣55分为不合格,55﹣﹣﹣70分为合格,70﹣﹣﹣85分为良好,85﹣﹣﹣100分为优秀)请根据以上信息,解答下列问题:
(1)表中的a=_____,b=_____;
(2)请根据频数分布表,画出相应的频数分布直方图;
(3)如果该校八年级共有150名学生,根据以上数据,估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为_____.
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【题目】对某个函数给定如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足|y|≤M,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其中最小值称为这个函数的边界值.现将有界函数y=2+1(0xm,1≤m≤2)的图象向下平移m个单位,得到的函数边界值是t,且≤t≤2,则m的取值范围是( )
A. 1≤m≤ B. ≤m≤ C. ≤m≤ D. ≤m≤2
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【题目】我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DF∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD=4,DE=9,则线段CE的长为( )
A.3B.4C.5D.6
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【题目】某批发部某一玩具价格如图所示,现有甲、乙两个商店,计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具.两商店所需玩具总数为120个,乙商店所需数量不超过50个,设甲商店购买个.如果甲、乙两商店分别购买玩具,两商店需付款总和为y元.
(1)求y关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)若甲商店购买不超过100个,请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱;
(3)“六一”儿童节之后,该批发部对此玩具价格作了如下调整:数量不超过100个时,价格不变;数量超过100个时,每个玩具降价a元.在(2)的条件下,若甲、乙两商店“六一”儿童节之后去批发玩具,最多可节约2800元,求a的值.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE
(1)求证:AD=ED
(2)连接BE,猜想△BEC的形状,并说明理由
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【题目】如图,在正方形网格当中,三角形的三个顶点都在格点上.直线与直线相交于点.
(1)画出将三角形向右平移5个单位长度后的三角形(点的对应点分别是点).
(2)画出三角形关于直线对称的三角形(点的对应点分别是点).
(3)画出将三角形绕着点旋转后的三角形(点的对应点分别是点).
(4)在三角形,,中,三角形 与三角形 成轴对称,三角形 与三角形 成中心对称
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于点,B,与反比例函数图象的一个交点为.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)设直线与 轴,轴分别交于点C,D,且,直接写出的值 .
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