Question

【题目】如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2为“互相关联”的抛物线．如图，已知抛物线与是“互相关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，－1）.

（1）直接写出点A，B的坐标和抛物线C2的解析式．

（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是以AB为直角边的直角三角形?如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－2，－1），B（2，3），；（2）存在，E的坐标为（6，－1）或（10，－13）．

【解析】

（1）由抛物线可得A（－2，－1），将，D（6，－1）代入C2:y2＝ax2＋x＋c，求得y2＝－x2＋x＋2，B（2,3）.

（2）易得直线AB的解析式：，若B为直角顶点，，E（6，-1）；若A为直角顶点，，E（10，-13）.

（1）由抛物线可得

A（－2，－1）

由抛物线C2:y2＝ax2＋x＋c过点A，D（6，－1）

得

解得

故抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋x＋2.

∵y2＝－x2＋x＋2.

＝（x－2）2＋3，

∴点B的坐标为（2，3）.

（2）存在.

设点E的坐标为（m，m2＋m＋2）.

∵A（－2，－1），B（2，3），

∴AB2＝（2＋2）2＋（3＋1）2＝32，

AE2＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，

BE2＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2.

①当点A为直角顶点时，有AB2＋AE2＝BE2，

即32＋（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2

＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2，

解得m1＝－2（不合题意，舍去），m2＝10，

∴E（10，－13）.

②当点B为直角顶点时，有AB2＋BE2＝AE2，

即32＋（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2

＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，

解得m3＝6，m4＝2（不合题意，舍去），

∴E（6，－1）.

综上所述，当E的坐标为（6，－1）或（10，－13）.