【题目】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,DE⊥BC于E,连AE,FE⊥AE交CD于点F.
(1)求证:△AED∽△FEC;
(2)若AB=2,求DF的值;
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】试题分析:(1)根据条件可以得出∠EFC=∠EAD,∠CEF=∠AED,进而可以证明△AED∽△FEC.
(2)根据条件可以证明A、D、F、B、A四点共圆,由∠BEA=∠FED,推出结论.
(3)设AB=a,CD=b,通过辅助线,利用方程的思想,解决问题.
试题解析:解:(1)∵DE⊥BC,EF⊥AE,∴∠BED=∠CED=90°.∵∠2+∠3=90°,∠2+∠CEF=90°,∴∠CEF=∠3.∵∠AEF=∠ADF=90°,∴∠6+∠4=180°.∵∠5+∠6=180°,∴∠5=∠4,∴△ADE∽△FEC.
(2)∵∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2.∵AB∥CD,∠ADC=90°,∴∠BAD+∠ADC=180°,∴∠BAD=90°.∵∠BED+∠BAD=180°,∴四边形ABCD四点共圆.∵∠AEF+∠ADF=180°,∴四边形AEFD四点共圆,∴A、B、E、F、D五点共圆.∵∠1=∠2,∴DF=AB=2.
(3)作CN⊥AB交AB的延长线于N,过点E作EG⊥AN垂足为G交CD于H,延长DE交CN于M.∵==2,AB=FD,∴EG=2EH.∵GB∥CH,∴△EGB∽△EHC,∴==2,设EC=a,AB=x,CD=y,则EB=2a.∵∠NCD=∠ADC=∠DAN=90°,∴四边形ADCN是矩形.∵AD=DC,∴四边形ADCN是正方形,∴AN=CN=CD=y,NB=y﹣x.∵∠NCB+∠CMD=90°,∠CMD+∠MDC=90°,∴∠NCB=∠MDC.∵CN=CD,∴△CNB≌△DCM,∴CM=BN=y﹣x,DM=BC=3a.∵∠MCD=∠MEC,∠CME=∠CMD,∴△MCE∽△MDC,∴=,∴=,∴y2﹣xy=3a2①
∵CM2+CD2=MD2,∴(y﹣x)2+y2=9a2②
由①②消去a得x2+xy﹣y2=0
∴x=y,(或x=y舍弃)
∴=,∴=.
故答案为:.
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【题目】如图,在中,,cm, cm,在中,,cm,cm.EF在BC上,保持不动,并将以1cm/s的速度向点C运动,移动开始前点F与点B重合,当点E与点C重合时,停止移动.边DE与AB相交于点G,连接FG,设移动时间为t(s).
(1)从移动开始到停止,所用时间为________s;
(2)当DE平分AB时,求t的值;
(3)当为等腰三角形时,求t的值.
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【题目】某校为了解全校学生上学期参加“生涯规划”社区活动的情况,学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数,并将调查所得的数据整理如下:
参加社区活动次数的频数、频率
活动次数x | 频数 | 频率 |
0<x≤3 | 10 | 0.20 |
3<x≤6 | a | 0.24 |
6<x≤9 | 16 | 0.32 |
9<x≤12 | 6 | 0.12 |
12<x≤15 | b | m |
15<x≤18 | 2 | n |
根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)表中a= , b= , m= , n= .
(2)请把频数分布直方图补充完整(画图后请标注相应的数据);
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【题目】在平面直角坐标系中,A(4,0),直线l:y=6与y轴交于点B,点P是直线l上点B右侧的动点,以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ,∠APQ=90°,当点P的横坐标满足0≤x≤8,则点Q的运动路径长为_____.
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【题目】如图,⊙O为正方形ABCD的外接圆,E为弧BC上一点,AF⊥DE于F,连OF、OD.
(1)求证:AF=EF;
(2)若,求sin∠DOF的值.
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【题目】点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=65°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图①,将三角板MON的一边ON与射线OB重合时,则∠MOC= ;
(2)如图②,将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度,此时OC是∠MOB的角平分线,求旋转角∠BON和∠CON的度数;
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时,∠NOC=∠AOM,求∠NOB的度数.
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【题目】为了传承中华优秀传统文化,某校组织八年级学生参加了“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中若干名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,绘制如下不完整的条形统计图.
汉字听写大赛成绩分数段统计表
分数段 | 频数 |
2 | |
6 | |
9 | |
18 | |
15 |
汉字听写大赛成绩分数段条形统计图
(1)补全条形统计图.
(2)这次抽取的学生成绩的中位数在________的分数段中;这次抽取的学生成绩在的分数段的人数占抽取人数的百分比是_______.
(3)若该校八年级一共有学生350名,成绩在90分以上(含90分)为“优”,则八年级参加这次比赛的学生中成绩“优”等的约有多少人?
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【题目】将有规律的整数1,﹣2,3,﹣4,5,﹣6,…按照如图所示的方式排成数阵.
(1)用字母表示如图横行任意三个相邻的数的关系 、 、 .
(2)如图,方框中九个数之和与正中间数17有什么关系?请计算说明.
(3)用这样的方框在数阵中移动(一直保持框出数阵中的9个数),那么方框中九个数之和与正中间数关系,还如(2)中一样成立吗?请用字母解释其中所包含的规律.
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【题目】某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,根据跳水运动员的年龄(单位:岁),绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的跳水运动员人数为 ,图①中的值为 ;
(2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.
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