Question

【题目】已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)．

(1)在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；

(2)若∠ABC＝60°，EC＝2BE.求证：ED⊥DC.

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

(1)、根据尺规作图：角的平分线的基本作法，可得到∠BAD的平分线AE；利用菱形的判定定理，即可证得；(2)、根据直角三角形的性质定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC．

(1)解：作图如图所示．在△ABE与△ADE中，∵

∴△ABE≌△ADE，∴∠AEB＝∠AED.∵AD∥BE，∴∠AEB＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AED，

∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．∵AB＝AD，∴四边形ABED为菱形；

(2)证明：取EC的中点F，连接DF.

∵四边形ABED是菱形，∴EC＝2BE＝2DE＝2EF＝2CF，∠CED＝∠ABC＝60°，

∴△DEF是等边三角形，∴DF＝EF＝CF，∠DFE＝60°，

∴∠CDF＋∠C＝∠DFE＝60°＝2∠C.即∠C＝30°，

∴∠EDC＝180°－∠CED－∠C＝90°，即ED⊥DC．