[题目]对于平面内的点和点.给出如下定义:点为平面内的一点.若点使得是以为顶角且小于90°的等腰三角形.则称点是点关于点的锐角等腰点．如图.点是点关于点的锐角等腰点．在平面直角坐标系中.点是坐标原点． (1)已知点.在点.中.是点关于点的锐角等腰点的是．(2)已知点.点在直线上.若点是点关于点的锐角等腰点.求实数的取值范围．(3)点是轴上的动点..点是以为圆心.2为半径� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】对于平面内的点和点，给出如下定义：点为平面内的一点，若点使得是以为顶角且小于90°的等腰三角形，则称点是点关于点的锐角等腰点．如图，点是点关于点的锐角等腰点．在平面直角坐标系中，点是坐标原点．

（1）已知点，在点，中，是点关于点的锐角等腰点的是___________．

（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角等腰点，求实数的取值范围．

（3）点是轴上的动点，，点是以为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足．直线与轴和轴分别交于点，若线段上存在点关于点的锐角等腰点，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据等腰锐角点的定义即得；

（2）先确定极限位置：直线与圆相切于第四象限及直线过（0,3）时b的值，进而确定范围；

（3）分类讨论：E点和F点位于线段HK左侧；E点和F点位于线段HK右侧；利用一线三垂直模型及相似三角形的性质确定极限位置t的值，进而确定范围．

（1）∵点P是点关于点的锐角等腰点，

∴OA=OP=2

如下图：

当时，OP1=2，OP1⊥OA，不成立；

当时，过P2作P2M⊥x轴

∴OM=1，P2M=

∴在中，

∵

∴点是点关于点的锐角等腰点；

当时，

∴点不是点关于点的锐角等腰点；

当时，过P4作P4N⊥x轴

∴ON=，P4N=

∴在中，，

∴点是点关于点的锐角等腰点．

∴点关于点的锐角等腰点有，

故答案为：

（2）以O为圆心，OA=3为半径作圆，当直线与圆O相切与第四象限时，切点即为点关于点的锐角等腰点，如下图点．

由题意，得：OB=-b，OD=

∴在中，

∵

∴

解得：

如上图：当直线过点E时，，OE⊥OA

∴要使在直线上存在点是点关于点的锐角等腰点，

综上所述：时，直线上存在点是点关于点的锐角等腰点．

（3）如下图：

当在直线左侧，时，过作

∵

∴

∵

∴KO=4，KH=，EH=4-t

∴EG=

∵要使线段上存在点关于点的锐角等腰点，则

∴

当E点和F点位于线段HK右侧时，即：时，如下图，过E作EB⊥EF，过B作BM⊥x轴，过点F作FL⊥x轴

当时，

∴，

∵，

∴，

∴

将点代入直线得：

解得：

∴当时，线段上存在点关于点的锐角等腰点．

∵，

∴，即

综上所述：时，线段上存在点关于点的锐角等腰点

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①当直线l过点时，直接写出区域W内的整点个数.

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