Question

【题目】如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．

（1）当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．

（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0＜t≤或＜t≤5．

【解析】

（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；

（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；

（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．

（1）∵OA=6，OB=8，

∴由勾股定理可求得：AB=10，

由题意知：OQ=AP=t，

∴AC=2t，

∵AC是⊙P的直径，

∴∠CDA=90°，

∴CD∥OB，

∴△ACD∽△ABO，

∴，

∴AD=，

当Q与D重合时，

AD+OQ=OA，

∴+t=6，

∴t=；

（2）当⊙Q经过A点时，如图

OQ=OA﹣QA=4，

∴t==4s，

∴PA=4，

∴BP=AB﹣PA=6，

过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，

连接PF，

∴PE∥OA，

∴△PEB∽△AOB，

∴，

∴PE=3.6，

∴由勾股定理可求得：EF=，

由垂径定理可求知：FG=2EF=；

（3）当QC与⊙P相切时，如图

此时∠QCA=90°，

∵OQ=AP=t，

∴AQ=6﹣t，AC=2t，

∵∠A=∠A，

∠QCA=∠ABO，

∴△AQC∽△ABO，

∴，

∴，

∴t=，

∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，

当QC⊥OA时，

此时Q与D重合，

由（1）可知：t=，

∴当＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，

综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤或＜t≤5．