Question

16．如图，等腰梯形ABCD的面积为100cm²，AC⊥BD．
（1）按要求画图，并标注字母：作CE∥BD，交AB的延长线于点E，作CF⊥AB于点F．
（2）求证：△ADC≌△CBE；
（3）求梯形的高．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）先根据四边形DCEB是平行四边形得出CD=BE，DB=CE，再由SSS定理即可得出结论；
（3）根据AC⊥BD，CE∥BD得出AC⊥CE，故△ACE是等腰直角三角形．再根据CF⊥AE可知CF=$\frac{1}{2}$AE．故S_△ACE=S_△ACB+S_△CBE=S_梯形ABCD=100，由此可得出结论．

解答 （1）解：如图所示；

（2）证明：∵CE∥BD，CD∥BE，
∴四边形DCEB是平行四边形，
∴CD=BE，DB=CE．
∵AC=BD，
∴AD=CE．
在△ADC与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BC\\ CD=BE\\ AC=CE\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CBE（SSS）；

（3）解：∵AC⊥BD，CE∥BD，
∴AC⊥CE，
∴△ACE是等腰直角三角形．
∵CF⊥AE，
∴CF=$\frac{1}{2}$AE．
∵S_△ACE=S_△ACB+S_△CBE=S_梯形ABCD=100，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•CF=CF²=100，
∴CF=10．

点评 本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形的两腰相等是解答此题的关键．