【题目】如图,点是正方形对角线上一动点,点在射线上,且,连接,为中点.
(1)如图1,当点在线段上时,试猜想与的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)如图2,当点在线段上时,(1)中的猜想还成立吗?请说明理由;
(3)如图3,当点在的延长线上时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)中的猜想是否成立?若成立,请直接写出结论;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)且,详见解析;(2)猜想成立,详见解析;(3)猜想成立
【解析】
(1)根据点P在线段AO上时,利用三角形的全等判定和性质以及四边形内角和定理可以得出PE⊥PD,PE=PD;
(2)利用三角形全等得出,BP=PD,由PB=PE,得出PE=PD,要证PE⊥PD;从三方面分析,当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,当点E在BC的延长线上时,分别分析即可得出;
(3)根据题意作出图形,利用(2)中证明思路即可得出答案.
(1)当点P在线段AO上时,且,理由如下:
∵四边形是正方形,为对角线,
∴,,
在△ABP和△ADP中,
,
∴△ABP≌△ADP,
∴,,,
又∵,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵正方形中,,
∴,
∴;
(2)当点在线段上时,且,理由如下:
∵四边形是正方形,为对角线,
∴,,
又,
∴,
∴,
又∵,
∴,
①当点与点重合时,;
②当点在的延长线上时,如图所示,
∵,
∴,
∴,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
综上所述:.
∴当点在线段上时,(1)中的猜想成立;
(3)当点在线段的延长线上时,如图所示,(1)中的猜想成立.
∵四边形是正方形,点在的延长线上,
∴,,
又,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
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【题目】州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况,随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数,并用得到的数据检测了两幅统计图,下面给出了两幅不完整的统计图(如图)
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)a= %,并写出该扇形所对圆心角的度数为 ,请补全条形图.
(2)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
(3)如果该县共有八年级学生2000人,请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人?
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【题目】如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.
(1)求直线OA和二次函数的解析式;
(2)当点P在直线OA的上方时,
①当PC的长最大时,求点P的坐标;
②当S△PCO=S△CDO时,求点P的坐标.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为t秒,0≤t≤5.
(1)AE=________,EF=__________
(2)若G,H分别是AB,DC中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.(相遇时除外)
(3)在(2)条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x12﹣x22=0时,求m的值.
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【题目】一名足球守门员练习折返跑,从球门的位置出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记录如下(单位:米):
+6 | - 5 | +9 | - 10 | +13 | - 9 | - 4. |
(1)守门员是否回到了原来的位置?
(2)守门员离开球门的位置最远是多少?
(3)守门员一共走了多少路程?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AD∥x轴,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0).CD边所在直线y1=mx+n与x轴交于点C,与双曲线y2= (x<0)交于点D.
(1)求直线CD对应的函数表达式及k的值.
(2)把菱形ABCD沿y轴的正方向平移多少个单位后,点C落在双曲线y2= (x<0)上?
(3)直接写出使y1>y2的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若∠B=30°,AB=8,求DE的长.
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