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【题目】如图,点是正方形对角线上一动点,点在射线上,且,连接中点.

1)如图1,当点在线段上时,试猜想的数量关系和位置关系,并说明理由;

2)如图2,当点在线段上时,(1)中的猜想还成立吗?请说明理由;

3)如图3,当点的延长线上时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)中的猜想是否成立?若成立,请直接写出结论;若不成立,请说明理由.

【答案】1,详见解析;(2)猜想成立,详见解析;(3)猜想成立

【解析】

1)根据点P在线段AO上时,利用三角形的全等判定和性质以及四边形内角和定理可以得出PEPDPE=PD
2)利用三角形全等得出,BP=PD,由PB=PE,得出PE=PD,要证PEPD;从三方面分析,当点E在线段BC上(EBC不重合)时,当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,当点EBC的延长线上时,分别分析即可得出;
3)根据题意作出图形,利用(2)中证明思路即可得出答案.

1)当点P在线段AO上时,,理由如下:
∵四边形是正方形,为对角线,

在△ABP和△ADP中,


∴△ABP≌△ADP

又∵

∵正方形中,

2)当点在线段上时,,理由如下:

∵四边形是正方形,为对角线,

又∵

①当点与点重合时,

②当点的延长线上时,如图所示,

综上所述:

∴当点在线段上时,(1)中的猜想成立;

3)当点在线段的延长线上时,如图所示,(1)中的猜想成立.

∵四边形是正方形,点的延长线上,

又∵

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