Question

18．如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，两只虫子P和Q同时分别从A，B出发，沿AB，BC向B，C方形前进，虫子P每秒走1cm，虫子Q每秒走2cm，结果同时到达点B和点C．
（1）都爬行4秒后，两虫的最短距离PQ是多少厘米？
（2）两只蚂蚁同时出发t秒后，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似，求t．

Answer 1

分析 （1）利用两点运动方向及速度得出BQ，BP的长，再利用勾股定理得出答案；
（2）利用当△PBQ∽△ABC时以及△QBP∽△ABC时，结合相似三角形的判定与性质得出即可．

解答 解：（1）∵两只虫子P和Q同时分别从A，B出发，沿AB，BC向B，C方形前进，虫子P每秒走1cm，虫子Q每秒走2cm，
∴都爬行4秒后，AP=4cm，BQ=8cm，
则BP=6cm，
故PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=10（cm），
则都爬行4秒后，两虫的最短距离PQ是10厘米；

（2）设t秒时，由题意可得：BP=（10-t）cm，BQ=2tcm，
当△PBQ∽△ABC时，
则$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$，
即$\frac{10-t}{10}$=$\frac{2t}{20}$，
解得：t=5，
当△QBP∽△ABC时，
则$\frac{QB}{AB}$=$\frac{BP}{BC}$，
即$\frac{2t}{10}$=$\frac{10-t}{20}$，
解得：t=2，
故两只蚂蚁同时出发2或5秒后，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似．

点评 此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确利用分类讨论得出是解题关键．