Question

【题目】如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β＝90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4（如图所示），点D在AC边上，联结BD．如果△ABD为“准互余三角形”，那么线段AD的长为_____（写出一个答案即可）．

Answer 1

【答案】或

【解析】

作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．分两种情形：①当2α+β＝90°时．②当α+2β＝90°时，分别求解即可．

解：过点D作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．

①当2α+β＝90°时，∵α+β+∠DBC＝90°，

∴∠DBC＝∠DBA，

∵DM⊥AB，DC⊥BC，

∴DM＝DC，

∵∠DMB＝∠C＝90°，DM＝DC，BD＝BD，

∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），

∴BM＝BC＝3，

∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，

∴AB＝＝5，

∴AM＝5﹣3＝2，设AD＝x，则CD＝DM＝4﹣x，

在Rt△ADM中，则有x2＝（4﹣x）2+22，

解得x＝．

∴AD＝．

②当α+2β＝90°时，∵α+β+∠DBC＝90°，

∴∠DBC＝β＝∠A，

∵∠C＝∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴BC2＝CDCA，

∴CD＝，

∴AD＝AC﹣CD＝4﹣＝．

故答案为：或．