Question

1．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：
（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P₁、P₂之间的水平距离．

Answer 1

分析 （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．

解答 解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），
设抛物线的解析式是y=a（x-5）²+5，
把（0，1）代入y=a（x-5）²+5，
得a=-$\frac{4}{25}$，
∴y=-$\frac{4}{25}$（x-5）²+5（0≤x≤10）；
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，
∴4=-$\frac{4}{25}$（x-5）²+5，
∴$\frac{4}{25}$（x-5）²=1，
∴x₁=$\frac{15}{2}$，x₂=$\frac{5}{2}$，
∴两景观灯间的距离为 $\frac{15}{2}$-$\frac{5}{2}$=5米．

点评 本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．