Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O，交BC于D点交AC于F点，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：

BD

=

DF

；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若CE=2，∠BAC=60°，求由DC、CF与

DF

所围成图形的面积S．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据圆周角的性质求得∠ADB=90°，∠DAC=∠DBF，根据等腰三角形的性质求得∠CAD=∠BAD，从而求得∠BAD=∠DBF，即可求得

BD

=

DF

；
（2）连接OD，先求得OD三角形的中位线，从而求得OD∥AC，即可求得OD⊥DE，从而求得DE为⊙O的切线；
（3）连接OF，先求得四边形BCFO是菱形，从而求得∠C=∠FOD=60°，然后根据S=S_{四边形BCFO}-S_扇形DOF即可求得由DC、CF与

DF

所围成图形的面积S．

解答：（1）证明：连接AD，BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠DAC=∠DBF，
∴∠BAD=∠DBF
∴

BD

=

DF

；

（2）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AO=BO，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴CD=DB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；

（3）解：连接OF，
∵AB=AC，OF=OA，∠BAC=60°，
∴△ABC、△AFO都是等边三角形，
∴∠AFO=∠C=60°，
∴OF∥CD，
∵OD∥AC，
∴四边形BCFO是平行四边形，
∵OB=OF，
∴四边形BCFO是菱形，
∴∠C=∠FOD=60°，
OD=DC=CF，
∵DE⊥AC，
∴DC=2CE=4=OD=CF，
∴DE=

CD2-CE2

=2

3

，
∴S=S_{四边形BCFO}-S_扇形DOF=CF•DE-

nπr2

360

=4×2

3

-

60π×42

360

=8

3

-

8

3

π．

点评：本题考查了切线的性质和判定，圆周角的性质，等边三角形的判定，菱形的判定以及扇形的面积等，作出辅助线是本题的关键．