Question

如图，?ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，AE的中点是H，经过点E作AE的垂线交BC于G，交AB的延长线于点F，点G恰好是EF的中点，DH=GC．
（1）求证：∠HDC=∠ADH=∠C；
（2）若AE=6

3

，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的性质和平行线性质即可求解；
（2）可证CGE≌△BGF，即可求得EC的长，根据AE=ED即可求四边形ABCD的周长．

解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，AE平分∠DAB；
∴∠DAE=∠EAF=∠AED；DC∥AB，
∴△DAE是等腰三角形，
∵E是AE的中点，
∴AD=DE；∠ADH=∠HDC；DH⊥AE，
又∵AE⊥EF，
∴DH∥EG，
∴四边形DEGH是平行四边形，
∴DH=EG；∠HDC=∠EGH，
∵EG=DH=CG，
∴△CGE是等腰三角形，
∴∠CEG=∠C=∠HDC=∠ADH；
（2）∵∠CEG=∠C=∠HDC=∠ADH且∠ADH+∠HDC+∠DAB=180°，
∴∠HDC=∠ADH=∠CEG=60°，
∴△CGE是等边三角形，
∵CE∥BF；G是EF中点，
在△CGE和△BGF中，

∠EGC=∠BGF ∠CEG=∠GBF EG=FG

，
∴△CGE≌△BGF（AAS），
∴BG=CG=CE=DH．
∵AE=6

3

，
∴AH=3

3

；DE=AD=

2

3

AH=6，
∴BG=CG=CE=DH=

1

2

AD=3，
∴AD+DC=AD+DE+CE=6+6+3=15，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AD+DC）=30．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质．