Question

在数学课上，张老师布置了一道课外作业题：要求同学利用正方形纸片制作一个圆锥的模型，
（1）甲同学认为按如图1剪下其中的扇形和小圆，就可以一个做侧面，一个做底面，做成一个圆锥模型．
（2）乙同学认为按如图2剪下其中的扇形和小圆，就可以一个做侧面，一个做底面，做成一个圆锥模型．
已知正方形的边长为a，请你就甲、乙两位同学的观点谈谈你的看法，如果你认为不对，请说明理由，如果你认为正确，请求出扇形的底面半径和母线长．

Answer 1

考点：圆锥的计算

专题：

分析：（1）设BD交

AC

于点E，求得DE的长，然后求出所作扇形的弧围成的圆的直径，与DE的长进行比较即可；
（2）设出圆锥的母线长和底面半径，让扇形的弧长等于圆的底面周长，以及正方形的对角线长联立构成方程组，即可求得扇形的底面半径和母线长．

解答：解：（1）甲同学的观点不对，理由如下：
设BD交

AC

于点E，
DE=BD-BE=（

2

-1）a，

AC

=

90πa

180

=

1

2

πa，
由2πr=

1

2

πa，解得：r=

1

4

a，
则直径是

1

2

a＞（

2

-1）a．
故甲同学的观点不对；

（2）乙同学的观点正确．求解过程如下：
设扇形的底面半径即圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，
∵正方形的边长为a，
∴正方形对角线长为

2

a，
则（1+

2

）r+R=

2

a①，
2πr=

2πR

4

②，
由①②，可得，r=

2

5+ 2

=

5 2 -2

23

a，R=4r=

20 2 -8

23

a．
故扇形的底面半径为

5 2 -2

23

a，圆锥的母线长为

20 2 -8

23

a．

点评：本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是得到圆锥底面半径所在的正方形的对角线的表达式，难点是得到扇形的半径．