Question

20．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC，连接DE．
（1）求证：△ACD≌△BDE；
（2）求∠BED的度数；
（3）若过E作EF⊥AB于F，BF=1，直接写出CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△ACD≌△BDE即可；
（2）根据全等三角形得出AC=BD，进而得出BD=BC，利用角的计算即可解答；
（3）过E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质求出EF的长，根据题意求出∠CED=∠DEF，根据角平分线的性质求出EH=EF，根据等腰三角形的性质得到答案．

解答 证明：（1）在△ACD与△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC=BD}\\{∠A=∠B}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BDE（SAS），
（2）∵△ACD≌△BDE，
∴AC=BD，CD=DE，
∵AC=BC，
∴BD=BC，
∴∠BCD=67.5°，
∴∠CED=∠BCD=67.5°，
∴∠BED=112.5°；
（3）过E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，
∵EF⊥AB，∠B=45°，
∴EF=BF=1，
∵∠FEB=45°，∠CED=67.5°，
∴∠DEF=67.5°，
∴∠CED=∠DEF，又DH⊥BC，EF⊥AB，
∴EH=EF=1，
∵DC=DE，DH⊥BC，
∴CE=2EH=2．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．