Question

5．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：CD²=AD•BD；
（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．

Answer 1

分析 （1）由互余两角的关系得出∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，证出△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}$，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，得出BD，即可得出sin∠BCD的值．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠B+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
即 CD²=AD•BD；
（2）解：由（1）知：△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}$，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+{BC}^{2}}$=5，
由△ABC的面积得：AB•CD=AC•BC，
∴5CD=3×4，
∴CD=$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{\frac{12}{5}}{BD}$，
解得：BD=$\frac{16}{5}$，
sin∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\frac{16}{5}}{4}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度适中，证明三角形相似是解题的关键．