Question

16．如图，已知抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x，直线y₂=-2x+b相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂，取m=$\frac{1}{2}$（|y₁-y₂|+y₁+y₂）则（　　）

• A． 点B的坐标随b的值的变化而变化
• B． m随x的增大而减小
• C． 当m=2时，x=0
• D． m≥-2

Answer 1

分析 将点A的横坐标代入y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x求得y₁=-2，将x=2，y=-2代入y₂=-2x+b求得b=2，然后将y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x与y₂=-2x+2联立求得点B的坐标，然后根据函数图形化简绝对值，最后根据函数的性质可求得m的范围．

解答 解：∵将x=2代入y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x得y₁=-2，
∴点A的坐标为（2，-2）．
∵将x=2，y=-2代入y₂=-2x+b得b=2，
∴y₂=-2x+2．
将y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x与y₂=-2x+2联立，解得：x₁=2，y₁=-2或x₂=-2，y₂=6．
∴点B的坐标为（-2，6）．
故A错误；
∵当x＜-2时，y₁＞y₂，
∴m=y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x．
∴m＞6，且m随x的增大而减小．
∵当-2≤x＜2时，y₁＜y₂
∴m=y₂=-2x+2．
∴-2＜m≤6且m随x的增大而减小．
令m=0，求得x=0．
∵当x≥2时，y₁＞y₂，
∴m=y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x．
∴m≥-2，m随x的增大而增大．
故B错误；
令m=2，求得：x=2+2$\sqrt{2}$．
故C错误．
综上所述，m≥-2．
故选：D．

点评 本题主要考查的是二次函数的性质，根据函数图象比较出y₁与y₂的大小关系从而得到m的函数关系式是解题的关键．