Question

【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B. C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.设∠BAC=α，∠BCE=β.

(1)如图1,如果∠BAC=90，∠BCE=___度；

(2)如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系?并说明理由。

(3)当点D在线段BC的延长线上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系?请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论。

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）α+β=180°，理由见解析；（3）α+β=180°，理由见解析

【解析】

（1）根据题干中给出的条件可以证明△ABD≌△ACE，即可证明∠B=∠ACE，即可求出∠BCE的度数；

（2）根据（1）中的△ABD≌△ACE，可以证明α+β=180°；

（3）连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得△ABD≌△ACE(SAS)，即可证明：α+β=180°．

（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC；

∴∠CAE=∠BAD；

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠B=∠ACE；

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180∠BAC=90°；

(2)由(1)中可知β=180°α，

∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；

(3)连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图：

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠B=∠ACE；

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°∠BAC.

∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；