【题目】如图,△ABC中,AB=BC,AC=8,tanA=k,P为AC边上一动点,设PC=x,作PE∥AB交BC于E,PF∥BC交AB于F.
(1)证明:△PCE是等腰三角形;
(2)EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高,用含x和k的代数式表示EM、FN,并探究EM、FN、BH之间的数量关系;
(3)当k=4时,求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式.x为何值时,S有最大值?并求出S的最大值.
【答案】解:(1)证明:∵AB=BC,∴∠A=∠C。
∵PE∥AB,∴∠CPE=∠A。
∴∠CPE=∠C。∴△PCE是等腰三角形。
(2)∵△PCE是等腰三角形,EM⊥CP,∴CM=CP=,tanC=tanA=k。
∴EM=CMtanC=k=。
同理:FN=ANtanA=k=4k﹣。
由于BH=AHtanA=×8k=4k,EM+FN=+4k﹣=4k,
∴EM+FN=BH。
(3)当k=4时,EM=2x,FN=16﹣2x,BH=16,
∴S△PCE=x2x=x2,S△APF=(8﹣x)(16﹣2x)=(8﹣x)2,S△ABC=×8×16=64。
∴。
∴当k=4时,四边形PEBF的面积S与x的函数关系式为。
∵,
∴当x=4时,S有最大值32。
【解析】
(1)根据等边对等角可得∠A=∠C,然后根据两直线平行,同位角相等求出∠CPE=∠A,从而得到∠CPE=∠C,即可得证。
(2)根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP,然后求出EM,同理求出FN、BH的长,再根据结果整理可得EM+FN=BH。
(3)分别求出EM、FN、BH,然后根据S△PCE,S△APF,S△ABC,再根据,整理即可得到S与x的关系式,然后利用二次函数的最值问题解答。
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【题目】如图,某中学校园内有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,学校计划在中间留一块边长为(a+b)米的正方形地块修建一座雕像,然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化的面积.(用含a、b的代数式表示)
(2)当a=2,b=4时,求绿化的面积.
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【题目】在学校组织的“文明出行”知识竞赛中,8(1)和8(2)班参赛人数相同,成绩分为A、B、C三个等级,其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分,达到B级以上(含B级)为优秀,其中8(2)班有2人达到A级,将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图,请解答下列问题:
(1)求各班参赛人数,并补全条形统计图;
(2)此次竞赛中8(2)班成绩为C级的人数为_______人;
(3)小明同学根据以上信息制作了如下统计表:
平均数(分) | 中位数(分) | 方差 | |
8(1)班 | m | 90 | n |
8(2)班 | 91 | 90 | 29 |
请分别求出m和n的值,并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩;
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【题目】已知:如图1,OM是∠AOB的平分线,点C在OM上,OC=5,且点C到OA的距离为3.过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E,易得到结论:OD+OE等于多少;
(1)把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA不垂直时(如图2),上述结论是否成立?并说明理由;
(2)把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA的反向延长线相交于点D时:
①请在图3中画出图形;
②上述结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请直接写出线段OD、OE之间的数量关系,不需证明.
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【题目】如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按图中所标注的数据,计算图中实线所围成的面积S是( )
A.50B.62C.65D.68
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【题目】一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分钟后离开轨道,前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2,后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系,如图,轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分,求:
(1)二次函数和反比例函数的关系式.
(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.
【答案】(1)v=(2<t≤5) (2)8米/分
【解析】分析:(1)由图象可知前一分钟过点(1,2),后三分钟时过点(2,8),分别利用待定系数法可求得函数解析式;
(2)把t=2代入(1)中二次函数解析式即可.
详解:(1)v=at2的图象经过点(1,2),
∴a=2.
∴二次函数的解析式为:v=2t2,(0≤t≤2);
设反比例函数的解析式为v=,
由题意知,图象经过点(2,8),
∴k=16,
∴反比例函数的解析式为v=(2<t≤5);
(2)∵二次函数v=2t2,(0≤t≤2)的图象开口向上,对称轴为y轴,
∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末,为8米/分.
点睛:本题考查了反比例函数和二次函数的应用.解题的关键是从图中得到关键性的信息:自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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【题目】已知点A(1,1),B(-1,1),C(0,4).
(1)在平面直角坐标系中描出A,B,C三点;
(2)在同一平面内,点与三角形的位置关系有三种:点在三角形内、点在三角形边上、 点在三角形外.若点P在△ABC外,请判断点P关于y轴的对称点P′与△ABC的位置关系,直接写出判断结果.
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【题目】如图,抛物线与轴交于,两点(点在轴的正半轴上),与轴交于点,矩形的一条边在线段上,顶点,分别在线段,上.
求点,,的坐标;
若点的坐标为,矩形的面积为,求关于的函数表达式,并指出的取值范围;
当矩形的面积取最大值时,
①求直线的解析式;
②在射线上取一点,使,若点恰好落在该抛物线上,则________.
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