Question

【题目】如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．

（1）求证：∠EAB=∠CED；

（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．

①求证EG⊥AF；

②求∠F的度数．（提示：三角形内角和等于180度）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②45°．

【解析】

（1）利用同角的余角相等即可证明；

（2）①想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题；

②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）即可解决问题.

（1）∵AB⊥BC，

∴∠EAB+∠AEB=90°，

∵AE⊥ED，

∴∠CED+∠AEB=90°，

∴∠EAB=∠CED．

（2）①∵AF平分∠BAE，

∴∠EAG=∠EAB，

∵EH平分∠BAE，

∴∠HED=∠CED，

∵∠EAB=∠CED，

∴∠HED=∠EAG，

∴∠HED+∠AEG=90°，

∴∠EAG+∠AEG=90°，

∴∠EGA=90°，

∴EG⊥AF．

②作FM∥CD，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴AB∥CD，

∴FM∥AB，

∴∠DFM=∠CDF=∠CDE，∠AFM=∠FAB=∠EAB，

∵∠CDE+∠CED=90°，

∴∠CDE+∠EAB=90°，

∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）=45°．