【题目】如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若点D为AB中点,延长DE交x轴于点F,在ED的延长线上取点G,使DG=DF,连接BG.
①BG与y轴的位置关系怎样?说明理由; ②求OF的长;
(3)如图2,若点F的坐标为(10,10),E是y轴的正半轴上一动点,P是直线AB上一点,且P的横坐标为6,是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)A(3,0),B(0,6);(2)①BG与y轴垂直,理由见解析,②OF=1.5(3)存在点E(0,4),使△EFP为等腰直角三角形
【解析】
(1)先求出m,n的值,即可得出结论;
(2)①先判断出△BDG≌△ADF,得出BG=AF,∠G=∠DFA,最后根据平行线的性质得出∠DFA=45°,∠G=45°,即可得出结论;
②利用等腰三角形的性质,建立方程即可得出结论;
(3)先求出点P坐标,进而得出Rt△FME≌Rt△ENP,进而得出求出OE,即可得出结论.
(1)由n2-12n+36+|n-2m|=0.得:(n-6)2+|n-2m|=0,
∴n=6,m=3,
∴A(3,0),B(0,6).
(2)①BG⊥y轴.
在△BDG与△ADF中,
∴△BDG≌△ADF
∴BG=AF,∠G=∠DFA
∵OC平分∠ABC,
∴∠COA=45°,
∵DE∥OC,
∴∠DFA=45°,∠G=45°.
∵∠FOE=90°,
∴∠FEO═45°
∵∠BEG=45°,
∴∠EBG=90°,
即BG与y轴垂直.
②从①可知,BG=FA,△BDE为等腰直角三角形.
∴BG=BE.
设OF=x,则有OE=x,3+x=6-x,解得x=1.5,
即:OF=1.5.
(3)∵A(3,0),B(0,6).
∵直线AB的解析式为:y=-2x+6,
∵P点的横坐标为6,
故P(6,-6)
要使△EFP为等腰直角三角形,必有EF=EP,且∠FEP═90°,
如图2,过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N.
∵∠FEP═90°
∴∠FEM+∠PEN=90°,又∠FEM+∠MFE=90°
∴∠PEN=∠MFE
∴Rt△FME≌Rt△ENP
∴ME=NP=6,
∴OE=10-6=4.
即存在点E(0,4),使△EFP为等腰直角三角形
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【题目】如图,抛物线与轴交于,两点(点在轴的正半轴上),与轴交于点,矩形的一条边在线段上,顶点,分别在线段,上.
求点,,的坐标;
若点的坐标为,矩形的面积为,求关于的函数表达式,并指出的取值范围;
当矩形的面积取最大值时,
①求直线的解析式;
②在射线上取一点,使,若点恰好落在该抛物线上,则________.
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【题目】某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费5900元;如果购买2台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费9400元.
(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?
(2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元,并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台,那么该学校至多能购买多少台B型打印机?
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【题目】飞镖随机地掷在下面的靶子上.
在每一个靶子中,飞镖投到区域、、的概率是多少?
在靶子中,飞镖投在区域或中的概率是多少?
在靶子中,飞镖没有投在区域中的概率是多少?
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【题目】如图,将长方形纸片ABCD对折后再展开,得到折痕EF,M是BC上一点,沿着AM再次折叠纸片,使得点B恰好落在折痕EF上的点B′处,连接AB′、BB′.
判断△AB′B的形状为 ;
若P为线段EF上一动点,当PB+PM最小时,请描述点P的位置为 .
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【题目】已知正比例函数y=(2m+4)x,求:
(1)m为何值时,函数图象经过第一、三象限?
(2)m为何值时,y随x的增大而减小?
(3)m为何值时,点(1,3)在该函数的图象上?
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【题目】我们知道当电压一定时,电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最大电阻为的滑动变阻器及一电流表测电源电压,结果如图所示.
电流(安培)与电阻(欧姆)之间的函数解析式为________;
当电阻在之间时,电流应在________范围内,电流随电阻的增大而________;
若限制电流不超过安培,则电阻在________之间.
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【题目】下面是圆圆设计的“作等腰三角形一腰上的高线”的尺规作图过程 .
已知:△,.
求作:边上的高线.
作法:如图,
①以点为圆心,为半径画弧,交于点和点;
②分别以点和点为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点;
③作射线交于点.
所以线段就是所求作的边上的高线.
根据圆圆设计的尺规作图过程,完成下列问题:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面证明.
证明:∵,
∴点在线段的垂直平分线上(__________) (填推理的依据).
∵__________=__________,
∴点在线段的垂直平分线上.
∴是线段的垂直平分线.
∴⊥.
∴线段就是边上的高线.
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【题目】如图所示,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.
(1)试猜想△BDE的形状,并说明理由;
(2)若∠A=35°,∠C=70°,求∠BDE的度数.
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