Question

11．如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度数．
（2）若AE=2，BE=1，CD=4．求四边形AECD的面积．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质定理证得AE=AF，进而证出△ABE≌△ADF，再得出∠CDA=120°；
（2）四边形AECD的面积化为△AEC的面积+△ACD的面积，根据三角形面积公式求出结论．

解答 解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠ADF=∠ABE=60°，
∴∠CDA=180°-∠ADF=120°；

（2）由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴FD=BE=1，AF=AE=2，CE=CF=CD+FD=5，
∴BC=CE+BE=6，
∴四边形AECD的面积=△AEC的面积+△ACD的面积=$\frac{1}{2}$CE•AE+$\frac{1}{2}CD•AF$=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×4×2=9．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角计算，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．