Question

【题目】如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由正方形的性质可得∠ACD=∠ADB=45°，根据三角形外角性质及角平分线的定义可得∠AFD=∠ADF，可证明AF=AD，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AG⊥DF，可得AG为DF的垂直平分线，可判定①正确；根据垂直平分线的性质可得EF=ED，可得∠EFD=∠EDF，即可证明∠EFD=∠FDC，可得EF//CD，即可证明EF//AB，可判定②正确；根据正方形的性质可得AB=AD，即可证明AB=AF，可判定③正确，由EF=ED，EF为Rt△EOF的斜边，可得ED＞OE，即可得出EF不是△OCD的中位线，可得CD≠2EF，根据AB=CD即可判定④错误；综上即可得答案．

∵在正方形中，对角线与相交于点，

∴∠ACD=∠ADB=45°，∠DOC=90°，AB=AD，

∵DF为∠ODC的平分线，

∴∠ODF=∠CDF，

∴∠ADB+∠ODF=∠ACD+∠CDF，即∠AFD=∠ADF，

∴AD=AF，

∵AG为∠OAD的平分线，

∴AG⊥DF，故①正确，

∴AG为DF的垂直平分线，

∴ED=EF，

∴∠EFD=∠EDF，

∴∠EFD=∠CDF，

∴EF//CD，

∵AB//CD，

∴EF//AB，故②正确，

∵AD=AB，AD=AF，

∴AB=AF，故③正确，

∵EF=ED，EF为Rt△EOF的斜边，

∴ED＞OE，

∵EF//CD，

∴EF不是△OCD的中位线，

∴CD≠2EF，即AB≠2EF，故④错误，

综上所述：正确的结论有①②③，

故选：C．