Question

7．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．
（1）求证：AF=EF；
（2）求EF长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，证出△DCF是等腰直角三角形，得出FC=DC=7，AB=FC，由ASA证明△ABF≌△FCE，得出EF=AF；
（2）根据BF=BC-FC计算出BF的长，由勾股定理计算即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC=DC=7，
∴AB=FC，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
在△ABF和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠EFC}\\{AB=FC}\\{∠B=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△FCE（ASA），
∴EF=AF；
（2）解：BF=BC-FC=12-7=5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{74}$，
则EF=AF=$\sqrt{74}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．