Question

9．（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，请用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（a，b为常数）
①因式的积的形式：（x-a）（x-b）；②关于x的二次多项式的形式：x²-（a+b）x+ab；
由①与②，可以得到一个等式：（x-a）（x-b）=x²-（a+b）x+ab
（2）由（1）的结果进行应用：若（a-m）（a-2）=a²+na+6对a的任何值都成立，求m，n的值
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式．

Answer 1

分析 （1）先求得阴影部分矩形的长与宽可直接求得阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积=正方形的面积-1个边长分别为a、x的矩形-1个边长分别为b、x的矩形+一个边长分别为a、b的矩形，从而得到恒等式；
（2）依据（1）的结果可知（a-m）（a-2）=a²-（m+2）a+2m，然后根据两个多项式的对应项相同求解即可；
（3）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．

解答 解：（1）①阴影部分的面积=（x-a）（x-b），②阴影部分的面积=x²-ax-bx+ab=x²-（a+b）x+ab，
∵阴影部分的面积不变，
∴（x-a）（x-b）=x²-（a+b）x+ab．
故答案为：①（x-a）（x-b）；②x²-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x²-（a+b）x+ab．
（2）由（1）可知：（a-m）（a-2）=a²-（m+2）a+2m，
又∵（a-m）（a-2）=a²+na+6，
∴2m=6，n=-（m+2）．
解得：m=3，n=-5．
（3）∵原几何体的体积=x³-1×1•x=x³-x，新几何体的体积=（x+1）（x-1）x，
∴x³-x=（x+1）（x-1）x．

点评 本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．