Question

4．已知等边△ABC．
（1）如图①，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°，求证：PA+PD+PC＞BD；
（3）在（2）的条件下，若∠CPD=30°，AP=4，CP=5，DP=8，则BD的长是13（请直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）先写出线段BP、PC、AP之间的数量关系，然后根据猜想作出合适的辅助线，画出相应的图形，找出所求数量关系需要的条件即可；
（2）要证明PA+PD+PC＞BD，只需要作辅助线延长DP到M使得PM=PA，连接AM、BM，画出相应的图形，根据三角形两边之和大于第三边即可证明结论；
（3）要求BD的长，根据（2）中得到的结论和题意可以得到∠BMD=90°，BM的长，MD的长，然后根据勾股定理即可求得BD的长，本题得以解决．

解答 （1）AP=BP+PC，
证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，如图1所示，
∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，
又∵PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即∠ACP=∠BCE，
在△ACP与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCE}\\{PC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC；
（2）证明：延长DP到M使得PM=PA，连接AM、BM，如下图2所示，

∵∠APD=120°，PM=PA，
∴∠APM=60°，
∴△APM是等边三角形，
∴AM=AP，∠PAM=60°，
∴DM=PD+PA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠MAP=∠BAC，
∴∠MAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
即∠MAB=∠PAC，
在△AMB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AP}\\{∠MAB=∠PAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△APC（SAS）
∴BM=PC，
∵在△BDM中，DM+BM＞BD，DM=PD+PA，
∴PA+PD+PC＞BD．
（3）如下图2所示，

由（2）知△AMB≌△APC，
∴MB=PC，∠AMB=∠APC，
∵∠CPD=30°，AP=4，CP=5，DP=8，∠APD=120°，∠AMP=60°，
∴MB=5，∠AMB=∠APC=∠APD+∠CPD=120°+30°=150°，
∴∠BMD=∠AMB-∠AMP=90°，
∵MD=MP+PD=4+8=12，MB=5，
∴BD=$\sqrt{M{D}^{2}+M{B}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}=13$，
故答案为：13．

点评 本题主要考查几何变换、对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．