Question

【题目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是_________，CE与AD的位置关系是____________________；

（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）．

（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若，求四边形ADPE的面积．

Answer 1

【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）成立；（3）．

【解析】

（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；

（2）结论仍然成立．证明方法类似；

（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题．

（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．

理由：连接AC，延长CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

又∵△APE是等边三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

故答案为：PB=EC，CE⊥AD．

（2）结论仍然成立．理由：如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

又∵△APE是等边三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

如图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

∵△APE是等边三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

（3）由（2）可知EC⊥AD，CE=BP，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC．

∵BC=AB=2，BE=2．在Rt△BCE中，EC==8，∴BP=CE=8．

∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，∴BD=2BO=2ABcos30°=6，∴OA=AB=，∴BO=OD=3，∴BD=2BO=6，∴DP=BP﹣BD=8﹣6=2，∴OP=OD+DP=5．在Rt△AOP中，AP==2，∴S四边形ADPE=S△ADP+S△AEP=×2×+×（2）2=8．