Question

6．如图，点E是正方形ABCD的CD边上的一点，以BE为一条直角边作等腰直角三角形BEF，斜边BF交AD于G，已知AG=5厘米，GD=15厘米．三角形BEF的面积是272厘米²．

Answer 1

分析 连接AC，交BF、BE于H、K，根据勾股定理求得AC=20$\sqrt{2}$，BG=5$\sqrt{17}$，根据AG∥BC，得出$\frac{AH}{HC}$=$\frac{GH}{HB}$=$\frac{1}{4}$，从而求得AH=4$\sqrt{2}$，HC=16$\sqrt{2}$，GH=$\sqrt{17}$，BH=4$\sqrt{17}$，证得△AHG∽△BHK，得出$\frac{AH}{BH}$=$\frac{GH}{HK}$，求得HK=$\frac{17}{2}$$\sqrt{2}$，得出AK=AH+HK=$\frac{25}{2}$$\sqrt{2}$，KC=AC-AK=$\frac{15}{2}$$\sqrt{2}$，根据AB∥CD，得出$\frac{CE}{AB}$=$\frac{CK}{AK}$，求得CE=12，然后根据勾股定理求得BE²=544，进而即可求得等腰直角三角形的面积．

解答 解：连接AC，交BF、BE于H、K，
∵AG=5厘米，GD=15厘米，
∴AD=20厘米，
∴AB=BC=20厘米，
∴AC=20$\sqrt{2}$，BG=5$\sqrt{17}$，
∵AG∥BC，
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{GH}{HB}$=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$，
∴AH=4$\sqrt{2}$，HC=16$\sqrt{2}$，GH=$\sqrt{17}$，BH=4$\sqrt{17}$，
∵∠GAH=∠HBK=45°，∠AHG=∠BHK，
∴△AHG∽△BHK，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\frac{GH}{HK}$，即$\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{HK}$，
∴HK=$\frac{17}{2}$$\sqrt{2}$，
∴AK=AH+HK=4$\sqrt{2}$+$\frac{17}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{25}{2}$$\sqrt{2}$，
∴KC=AC-AK=20$\sqrt{2}$-$\frac{25}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{15}{2}$$\sqrt{2}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{CK}{AK}$，即$\frac{CE}{20}$=$\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}}{\frac{25\sqrt{2}}{2}}$，
∴CE=12，
∴BE²=BC²+CE²=544，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE²=$\frac{1}{2}$×544=272（厘米²），
故答案为272厘米²．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积等，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．