Question

【题目】已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；

（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；

（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）结论：BD＝2CF．理由见解析；（3）.

【解析】

（1）欲证明BF=AD，只要证明△BCF≌△ACD即可；

（2）结论：BD=2CF．如图2中，作EH⊥AC于H．只要证明△ACD≌△EHA，推出CD=AH，EH=AC=BC，由△EHF≌△BCF，推出CH=CF即可解决问题；

（3）利用（2）中结论即可解决问题.

（1）证明：如图1中，

∵BE⊥AD于E，

∴∠AEF＝∠BCF＝90°，

∵∠AFE＝∠CFB，

∴∠DAC＝∠CBF，

∵BC＝CA，

∴△BCF≌△ACD，

∴BF＝AD．

（2）结论：BD＝2CF．

理由：如图2中，作EH⊥AC于H．

∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，

∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，

∴∠DAC＝∠AEH，

∵AD＝AE，

∴△ACD≌△EHA，

∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，

∵CB＝CA，

∴BD＝CH，

∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，

∴△EHF≌△BCF，

∴FH＝CF，

∴BC＝CH＝2CF．

（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．

∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，

∴．