Question

【题目】如图，已知抛物线经过点和点，点C为抛物线与y轴的交点．

求抛物线的解析式；

若点E为直线BC上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值．

在条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）当时，面积取最大值，最大值为．（3）点D的坐标为、、、或

【解析】分析：根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

过点E作轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点E的坐标为，则点F的坐标为，进而可得出EF的长度，利用三角形的面积公式可得出，配方后利用二次函数的性质即可求出面积的最大值；

分、、三种情况考虑，根据等腰三角形的性质结合两点间的距离公式，即可得出关于m的一元二次或一元一次方程，解之即可得出结论．

详解：将、代入，

得：，解得：，

抛物线的解析式为．

过点E作轴，交BC于点F，如图1所示．

当时，，

点C的坐标为．

设直线BC的解析式为，

将、代入，得：

，解得：，

直线BC的解析式为．

设点E的坐标为，则点F的坐标为，

，

，

当时，面积取最大值，最大值为．

由可知点E的坐标为

为等腰三角形分三种情况如图：

当时，有，

解得：，，

点D的坐标为或；

当时，有，

解得：，

点D的坐标为；

当时，有，

解得：，，

点D的坐标为或

综上所述：当点D的坐标为、、、或时，为等腰三角形．