Question

12．求证：函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴必有交点．

Answer 1

分析 分类讨论：当m=0，函数为一次函数，一次函数与x轴有一个交点；当m≠0时，函数为二次函数，计算△=（m+1）²，由于△≥0，于是可判断抛物线与x轴一个或两个交点．

解答 证明：当m=0时，函数y=x-2为一次函数，此函数与x轴有一个交点；
当m≠0时，△=（3m-1）²-4m•（2m-2）=m2+2m+1=（m+1）²，则△≥0，所以抛物线与x轴一个或两个交点；
所以函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴必有交点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．