Question

如图，扇形OAB的半径OA=2，圆心角∠AOB=120°，点C是弧

AB

上的动点，连结AC和BC，记弦AC、CB与弧

AC

、

CB

围成的阴影部分的面积为S，则S的最小值为

 

．

Answer 1

考点：扇形面积的计算

专题：

分析：要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，连接AB，只需满足△ABC的面积最大即可，从而确定点C的位置，点C位于弧AB的中点，从而求出四边形AOBC的面积，由2（S_扇形AOC-S_△AOC），即可得出答案．

解答：解：连接AB，CO，过点O作OE⊥AC于点E，
要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，
从而可得当点C位于弧AB的中点时，△ABC的面积最大，
则OC⊥AB，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=CO=BO=2，
∴△AOC和△BOC是等边三角形，
∴AC=BC=2，
∴EC=1，则EO=

3

，
故S_△AOC=

1

2

×AC×EO=

1

2

×2×

3

=

3

，
故弓形AC的面积为：S_扇形AOC-S_△AOC=

60π×22

360

-

3

=

2π

3

-

3

，
可得S_阴影=2（S_扇形AOC-S_△AOC）=

4π

3

-2

3

．
故答案为：

4π

3

-2

3

．

点评：本题考查了扇形的面积计算及动点问题，解答本题的关键是判断出点C的位置，有一定难度．