Question

如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，BF，且AB=2AD=4
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）当四边形DEBF为菱形时，求出该菱形的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；
（2）过F作FM⊥BE，由题目的已知条件易证△BFC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出FM的长，再根据菱形的面积公式计算即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E，F分别为边AB和CD的中点，
∴AE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，

AD=CB ∠A=∠C AE=CF

，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形DEBF为菱形，
∴BE=BF=

1

2

AB=2，
∵CF=

1

2

CD=

1

2

AB=2，BC=AD=

1

2

AB=2，
∴BC=BF=CF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠1=60°，
∴∠2=30°，
∴MB=

1

2

BF=1，
∴FM=

3

，
∴该菱形的面积=BE•FM=2×

3

=2

3

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，以及菱形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的性质，平行四边形的性质．