[题目]勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在多年以前.人们就开始对它进行研究.至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的中证明勾股定理的方法如下.请同学们仔细阅读并解答相关问题:如图.分别以的三边为边长.向外作正方形...(1)连接..求证:(2)过点作的垂线.交于点.交于点.①试说明四边形与正方形的面积相等,②请直接写出图中与正方形的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以的三边为边长，向外作正方形、、.

（1）连接、，求证：

（2）过点作的垂线，交于点，交于点.

①试说明四边形与正方形的面积相等；

②请直接写出图中与正方形的面积相等的四边形.

（3）由第（2）题可得：正方形的面积正方形的面积_______________的面积，即在中，__________________.

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②四边形与正方形的面积相等；（3）正方形，.

【解析】

（1）根据正方形的性质和三角形全等的判定定理，即可得到结论；

（2）①由得四边形的面积为的面积的倍，同理正方形的面积为的面积的倍，结合，即可得到结论；

②连接AF，BH，先证ACFHCB（SAS），再类似①题的方法，即可得到结论；

（3）由四边形与正方形的面积相等，四边形与正方形的面积相等，即可得到答案．

（1）∵四边形、四边形是正方形，

∴∠BAE=∠CAI=90°，AE=AB，AC=AI，

∴∠EAC=∠BAI，

在和中，

∵，

∴（SAS）；

（2）①∵BM⊥AC，

∴，

∴四边形的面积=的面积的倍，

同理：正方形的面积=的面积的倍，

又，

四边形与正方形的面积相等；

②四边形与正方形的面积相等，理由如下：

连接AF，BH，

∵四边形、四边形是正方形，

∴AC=HC，BC=FC,∠ACB=∠BCF，即：∠ACF=∠HCB，

∴ACFHCB（SAS），

∵BNHC，

∴四边形的面积是HCB面积的2倍，

同理：正方形的面积是ACF面积的2倍，

∴四边形与正方形的面积相等；

（3）由（2）可知：四边形与正方形的面积相等，四边形与正方形的面积相等，

∴正方形的面积正方形的面积正方形的面积，

即：．

故答案是：正方形，．

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